Index J. Cerda  

        Introducció a l'anàlisi funcional


                                            Edicions Universitat de Barcelona, 2004
Informació editorial i comercial en eub@org.ub.es i en la pàgina web de Publicacions de la Universitat de Barcelona.


Fe d'errates (maig de 2006): PDF
S'agraeix als lectors tota informació enviada a jcerda@ub.edu que ajudi a la recopilació d'errates.


  Aquest text és una introducció breu a l'anàlisi funcional en el context dels espais de Hilbert i espais de Banach, i pretén iniciar el lector en aquesta matèria.

  Conté quatre capítols: Espais normats, espais de Hilbert, dualitat, i operadors compactes. Tots finalitzen amb una secció d'exercicis i problemes resolts amb diferent grau de dificultat.

  En seu contingut vol ser una primera aproximació als mètodes de l'anàlisi funcional, que es caracteritza per la seva naturalesa abstracta, amb la substitució de l'estudi de funcions individuals que satisfan determinades equacions de l'anàlisi, per la consideració de classes de funcions i d'operadors entre elles, determinats per la naturalesa de cada problema.

  Es va desenvolupar inicialment per tractar problemes clàssics, especialment els relacionats amb les equacions diferencials, ordinàries i en derivades parcials, les equacions integrals i el càlcul de variacions.

  Malgrat que els seus mètodes, per si sols, no solen resoldre aquests problemes, són molt útils per aclarir els seus aspectes essencials i, a més, els progressos en anàlisi funcional han estimulat i motivat nous problemes de l'anàlisi.

  Els seus objectes, operadors i espais entre els que actuen, i els seus teoremes resulten de recollir situacions i arguments que apareixen reiteradament de manera més o menys explícita en construccions i teoremes diversos de l'anàlisi, on s'observa que sobre les classes de funcions sovint se superposen estructures algebraiques i topològiques o mètriques.

  En el pròleg hem triat les equacions integrals associades a problemes de valors inicials i de contorn per a equacions diferencials lineals de segon ordre com a exemple de l'anàlisi que pot servir de motivació dels teoremes del curs i on s'apliquen les seves conclusions.

  El capítol 1 conté fets fonamentals referents a espais de Banach generals i als operadors lineals acotats entre aquests espais, amb els exemples bàsics d'espais de les funcions.

  El capítol 2 està destinat als espais de Hilbert, com són els espais euclidians i els espais de funcions de quadrat integrable. A partir del resultat fonamental que és el teorema de la projecció, estudiem la dualitat i els desenvolupaments en sèries de Fourier respecte de bases ortonormals. Les onetes de la teoria del senyal serveixen per mostrar la conveniència i utilitat de la construcció de sistemes ortonormals diferents del trigonomètric.

  El capítol 3 es refereix a la dualitat d'espais normats generals, amb el teorema de Hahn-Banach, que estableix l'abundància de formes lineals contínues, com a resultat central. S'hi inclou la descripció dels duals dels exemples bàsics.

  El capítol 4 se centra en la teoria espectral dels operadors compactes d'espais de Banach i d'operadors compactes autoadjunts d'espais de Hilbert, que permet estendre a dimensió infinita la teoria espectral d'espais euclidians i la diagonalització d'endomorfismes simètrics. En aquest capítol es mostra l'efectivitat dels mètodes i resultats dels capítols anteriors, i els seus teoremes s'apliquen als operadors integrals com els del preàmbul i de l'epíleg. De l'anàlisi funcional no lineal s'hi inclou el teorema del punt fix.
 
Return